Pavimentações regulares

São variados os ladrilhos que podemos observar - enquanto caminhamos pelas nossas ruas.

Cobertura de azulejo, Ovar.
Foto: Raquel Dora Pinho.

Os ladrilhos quadrados congruentes compõem pavimentações puras ou monoédricas.


As pavimentações puras ou monoédricas são geradas por um único ladrilho. Incluem-se, nesta categoria, as chamadas pavimentações regulares: o ladrilho é um polígono regular.

Que outros polígonos regulares pavimentam? Quantos tipos de pavimentação regular existem?
Observemos a imagem de um passeio, numa rua antiga:

Passeio de rua antiga, Vila Nova de Gaia.
Foto: João Sá.

O ladrilho tem a configuração de um hexágono regular: o hexágono regular pavimenta.


Os traçados coloridos ajudam-nos a tirar conclusões:

Traçados: lápis aguarela, Ana Miguel.
Foto: Raquel Dora Pinho.

Pavimentação regular formada por hexágonos: 
A soma da amplitude dos ângulos em torno de cada vértice é 360º.

As diagonais de cada hexágono dividem-no em seis triângulos equiláteros (polígonos regulares). Definem uma nova pavimentação - triangular regular.
A soma da amplitude dos ângulos em torno de cada vértice é 360º.



Haverá mais alguma pavimentação regular?
O que se passa com o pentágono? Observemos o traçado:

Traçado: lápis aguarela, Ana Miguel.
Foto: Raquel Dora Pinho.

A amplitude dos ângulos do pentágono não permite encaixar um quarto pentágono, sem sobreposição.
O pentágono não pavimenta.

Conclusão:
Existem somente três pavimentações regulares: compostas por triângulos; por quadrados; e por hexágonos.

Imagine agora que unia os centros dos hexágonos de uma pavimentação regular composta por hexágonos. O que obteria?
E o contrário: se unisse os centros dos triângulos de uma pavimentação regular composta por triângulos?

Veremos, de seguida.