Grupo de simetria de uma figura - translações.

Caderno de notas.

O grupo de simetria de uma figura é constituído pelas isometrias que a deixam globalmente fixa.
As isometrias são transformações que, aplicadas a uma figura geométrica, não alteram as distâncias entre os seus pontos.

A simetria é, portanto, uma isometria.
Tendo presente esta ideia, continuemos:

Há figuras, em relação às quais, aquilo que nos é possível ver desenhado no papel é só «um pedaço» da figura. No entanto, esse «pedaço» sugere o modo como a figura continua, para além dos limites da folha de papel. Pois, esse «pedaço»  evidencia as leis que ditam a simetria da figura – indica-nos qual o seu grupo de simetria.

Neste momento, proponho-lhe que observe a imagem do caderno de notas. Supondo tratar-se da ilustração de «um pedaço» de uma figura que se prolonga até ao infinito, não lhe seria possível desenhar a figura completa.
Mas poderá, seguramente, imaginá-la e, até, conhecer as leis que a operam.
Então:

Qual o modelo gerador da figura que imaginou? Que leis originam a figura completa, a partir do modelo?

Anotou, certamente, que o modelo se configura como uma rosa rodeada de folhas. E que esse mesmo modelo se repete regularmente em diferentes direções.

Tudo se passa como se o modelo fosse deslocado (infinitas vezes) segundo uma dada distância, numa certa direção, e, neste caso, segundo outras distâncias, noutras direções.

Trata-se, portanto, de um exemplo de um grupo que contém translações, em direções diversas. 

Os grupos de simetria que contêm translações em direções diversas são grupos infinitos. Chamam-se grupos de padrões.