Grupo de simetria de uma figura - reflexão e reflexão deslizante.

Aplicações de bordados:

Os esquemas de bordados que, aqui, podemos observar, apresentam simetria. Que tipo de simetria?

Esquema "gansos": reflexão.
Esquema "trevos": reflexão deslizante.

O que significa dizer que se verifica reflexão deslizante? Como descrever este tipo de simetria, em termos matemáticos?


Examinemos duas ilustrações sobre papel quadriculado: 

Em cada uma das ilustrações, o modelo é a parte azul e verde do topo.

Reflexão.        Reflexão deslizante.

Na primeira ilustração, para construir a figura inteira, a regra é refletir o modelo relativamente à reta indicada pela letra r.
Na segunda ilustração, a regra é efetuar uma reflexão relativamente à reta indicada pela letra r; seguidamente, deslocar a imagem, resultante da reflexão, para a direita como indicado pela seta cor de laranja

Por aplicação da regra apresentada na segunda ilustração, surge como figura final:

Assim:

Reflexão deslizante: composição de uma reflexão seguida de uma translação na direção do eixo de reflexão.

Haverá outros modos de obter o mesmo efeito?
Deixo-lhe a questão em aberto: gostaria que verificasse se há ou não...
Se desejar, pode, até, fazer um esboço sobre quadriculado ou, simplesmente, imaginar...

Nos esquemas ilustrados acima, as regras pressupõem um número finito de operações, mas a aplicação de trevos sugere o modo como o bordado continuaria.
Qual a regra?

Veremos oportunamente.