Classificação de padrões de papel de parede - exemplificação.

Os dezassete tipos de padrão.

Por definição, os grupos de padrões são grupos infinitos que contêm translações, em direções distintas.
Para classificar os diferentes padrões, resta-nos, portanto, averiguar a presença das restantes isometrias - rotações, reflexões e reflexões deslizantes.

A tarefa tornar-se-lhe-á mais simples se tiver à mão a sistematização das hipóteses possíveis que já teve a oportunidade de ver na mensagem anterior - sistematização que se configura como chave dicotómica.
Assim, segundo a ordem em que estão apresentados no painel:

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Só a identidade.

Há reflexões? Não.

Há reflexões deslizantes? Não.

Descrição: Contém somente translações, em diferentes direções.

Tipo: p1.

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Só a identidade.

Há reflexões? Não.

Há reflexões deslizantes? Sim.

Descrição: Contém reflexões deslizantes.

Tipo: pg.

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Só a identidade.

Há reflexões? Sim.

Há reflexões deslizantes? Não.

Descrição: Contém reflexões.

Tipo: pm.

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Só a identidade.

Há reflexões? Sim.

Há reflexões deslizantes? Sim.

Descrição: Contém reflexões e reflexões deslizantes.

Tipo: cm.

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Sim, de 180º.

Há reflexões? Não.

Há reflexões deslizantes? Não.

Descrição: Contém rotações de 180º.

Tipo: p2.

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Sim, de 180º.

Há reflexões? Não.

Há reflexões deslizantes? Sim.

Descrição: Contém rotações de 180º e reflexões deslizantes.

Tipo: pgg.

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Sim, de 180º.

Há reflexões? Sim.

Os eixos de reflexão são todos paralelos entre si? Sim.

Descrição: Contém rotações de 180^o e reflexões cujos eixos são paralelos entre si.

Tipo: pmg.

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Sim, de 180^o.

Há reflexões? Sim.

Os eixos de reflexão são todos paralelos entre si? Não.

Todos os centros de rotação pertencem a eixos de simetria? Sim.

Descrição: Contém rotações de 180^o e reflexões. Os centros de rotação pertencem a eixos de simetria.

Tipo: pmm.

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Sim, de 180^o.

Há reflexões? Sim.

Os eixos de simetria são todos paralelos entre si? Não.

Todos os centros de rotação pertencem a eixos de reflexão? Não.

Descrição: Contém rotações de 180º e reflexões.

Tipo: cmm.

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Sim, de 120º (e seus múltiplos).

Há reflexões? Não.

Descrição: Contém rotações de 120º.

Tipo: p3.

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Sim, de 120º (e seus múltiplos).

Há reflexões? Sim.

Todos os centros de rotação pertencem a eixos de reflexão? Não.

Descrição: Contém rotações de 120^o e reflexões.

Tipo: p31m.

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Sim, de 120^o (e seus múltiplos).

Há reflexões? Sim.

Todos os centros de rotação pertencem a eixos de reflexão? Sim.

Descrição: Contém rotações de 120º (ordem 3) e reflexões. Os centros de rotação pertencem a eixos de reflexão.

Tipo: p3m1.

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Sim, de 90º (e seus múltiplos).

Há reflexões? Não.

Descrição: Contém rotações de 90º e de 180º.

Tipo: p4.

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Sim, de 90º (e seus múltiplos).

Há reflexões? Sim.

Todos os centros de rotação pertencem a eixos de reflexão? Sim.

Descrição: Contém rotações de 90ºe de 180º; e reflexões. Os centros de rotação pertencem a eixos de reflexão.

Tipo: p4m.

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Sim, de 90^o (e seus múltiplos).

Há reflexões? Sim.

Todos os centros de rotação pertencem a eixos de reflexão? Não.

Descrição: Contém rotações de 90^o e de 180^o e reflexões.

Tipo: p4g.

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Sim, de 60º (e seus múltiplos).

Há reflexões? Não.

Descrição: Contém rotações de 60º,de 120ºe 180º .

Tipo: p6.

Há rotações que fixam o desenho? De que ângulo? Sim, de 60º (e seus múltiplos).

Há reflexões? Sim.

Descrição: Contém rotações de 60º,de 120ºe 180º e reflexões.

Tipo: p6m.