"Padrão" | Semântica - 4 (domínio de Dirichlet - criação)

Certamente, anotou já que a expressão “papel de parede” se reporta não só ao papel usual de parede mas também a qualquer folha de papel ilustrado, a qualquer tecido estampado ou a um tapete, a uma carpete…

E que a expressão “papel de parede” tem um cunho matemático: a característica que mais interessa ao seu estudo é o facto de um padrão de papel de parede se repetir de modo regular até preencher inteiramente o plano.

Anotou, talvez, também, que existe um método subjacente à criação de um papel de parede.

Pois bem:

Tal método está associado a um conceito matemático designado por domínio de Dirichlet - designação estabelecida em homenagem ao matemático alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), a quem devemos a sua definição.

Assim:

Dada uma qualquer grelha de um plano e um ponto qualquer dessa grelha, o domínio de Dirichlet desse ponto compreende toda a área desse plano que se encontra mais próxima desse ponto do que de qualquer outro ponto da grelha considerada.

Os domínios de Dirichlet de uma grelha proporcionam um “modelo de tijolo” de simetria da grelha.

Sendo assim:

Se, um dia, pretender criar um papel de parede, deverá começar por empenhar-se em dar azo ao seu apelo criativo e seguir os seguintes passos:

- Definir a estrutura da grelha que pretenda aplicar.

- Idealizar um padrão que preencha um determinado domínio de Dirichlet da grelha e desenhá-lo no seu interior.

- Reproduzir, em todos os outros domínios de Dirichlet da grelha, o padrão que desenhou.

(O que significa que para conceber um papel de parede basta criar um padrão que preencha uma parte do papel e, de seguida, repetir esse padrão nas restantes partes.)

Para já, ficará com a ideia de que a sua imaginação criativa não terá fronteiras - não há limites para a criação de um padrão de papel de parede.
No entanto, no que respeita ao grupo de simetria que possa apresentar, o seu padrão  será um de apenas dezassete tipos de grupo de simetria distintos existentes.

Terminado o seu papel de parede, pode olhar frontalmente para ele - observá-lo com “os olhos bem abertos” e descobrir o seu grupo de simetria.

E, num ato de imaginação, “ver” o seu papel de parede prolongado indefinidamente, para além das suas próprias fronteiras, em todas as direções, até ao infinito … 

Deste modo, acabará por "vislumbrar" no seu imaginário um padrão, conforme a matemática….

Há cinco espécies distintas de domínios de Dirichlet para grelhas bidimensionais.
(Representações visuais apresentados por Keith Devlin em «Matemática, a ciência dos padrões», página 170.)

Aqui, está a ser explanado o conceito de padrão, tal como Keith Devlin o define.

A continuação do estudo dos padrões pôr-nos-á em contacto com outras significações...